MegaMatma: Zmienna losowa wzory.

Zmienna losowa wzory.

Rozkład zmiennej losowej

Dla zmiennej losowej $X$ o wartościach $x_i$ z prawdopodobieństwami $p_i,\ \ i\ \in \left\{1,2,\dots ,n\right\}$

Parametry klasyczne rozkładu zmiennej losowej skokowej

wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna)	$E\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{x_ip_i}$
odchylenia przeciętne	$d=E\left(\left\|X-E\left(X\right)\right\|\right)$
wariancja (dyspersja)	$D^2\left(X\right)=\sum^n_{i=1}{{\left[x_i-E\left(X\right)\right]}^2\cdot p_i}$
odchylenie standardowe	$\sigma<br /> =\sqrt{D^2\left(X\right)}$

Dla zmiennych losowych $X \ i \ Y$ określonych na tym samym zbiorze $\Omega ,\ c\in R,\ x_i$ - wartości zmiennej $X$ z prawdopodobieństwem $p_i$

oraz $i\in \left\{1,2,\dots ,n\right\}$

Własności wartości oczekiwanej

$E\left(c\right)=c$	$E\left(c\cdot X\right)=c\cdot E\left(X\right)$
$E\left(X+Y\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$	$E\left(X-E\left(X\right)\right)=0$

Własności wariancji zmiennej losowej

$D^2\left(c\right)=0$	$D^2\left(c\cdot X\right)=c^2\cdot D^2\left(X\right)$
$D^2\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\|E\left(X\right)\right\|}^2$	$D^2\left(X\right)=E\left[{\left(X-E\left(X\right)\right)}^2\right]$

Dla zmiennej losowej $X$ i zmiennej losowej standaryzowanej $U$ określonych na tym samym zbiorze $\Omega \ i\ \sigma >0$

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej standaryzowanej

$E\left(U\right)=0\ \ i\ \ D^2\left(U\right)=1,$ gdzie $U=\frac{X-E\left(X\right)}{\sigma }$

Rozkład zmiennej losowej	Wartość oczekiwana	Wariancja
zero-jedynkowy	$E\left(X\right)=p$	$D^2\left(X\right)=p\left(1-p\right)$
jednostajny	$E\left(X\right)=\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=m$	$D^2\left(X\right)=\frac{{\left(x_1-m<br /> \right)}^2+\dots +{\left(x_n-m\right)}^2}{n}$
dwumianowy	$E\left(X\right)=np$	$D^2\left(X\right)=np\left(1-p\right)$

Dla zmiennej losowej $X$ o wartościach $x_i$ z prawdopodobieństwami $p_i,\ \ i\in \left\{1,2,\dots ,n\right\}$

Parametry pozycyjne rozkładu zmiennej losowej skokowej

Mediana $M (Me)$	Dominanta $D (Mo)$
$P\left(X\le M\right)\ge \frac{1}{2}\ \ i\ \ P\left(X\ge M\right)\ge \frac{1}{2}$	$P<br /> \left(X=D\right)max\left\{p_1,\ p_2,\dots ,\ p_n\right\}$